Conversión de Cantidades Decimales a Diferentes Sistemas de Numeración
Sistema Binario
La palabra binario proviene del prefijo "bi-" que significa dos;por lo tanto el Sistema Binario
es un
sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando
solamente dos cifras, que son cero y uno ( 0 y 1), esto en infomática
tiene mucha importancia ya que
las computadoras trabajan internamente con 2 niveles de voltaje lo que hace que su sistema de numeración natural sea binario, por ejemplo 1 para encendido y 0 para apagado.
La conversión de una cantidad decimal a binario no es mas que una sucesión de devisiones; a continuación se explicará el procedimiento:
1.-Se toma la cantidad que se desea convertir y se divide entre dos.
2.-Posteriormente se toma el cociente(resultado) de la división anterior y se divide de igual manera entre dos.
3.- Así sucesivamente se repite la operación, cuantas veses sea necesario, hasta llegar a la última división, que debe ser 1/2 (uno entre dos), igual a 0 (cero).
4.-Cabe mencionar que los residuos de las divisiones siempre serán 1 ó 0 (uno o cero).
5.-Al terminar de dividir, se ordenan los residuos de derecha a izquierda ( <------ ), es decir, del último al primero.
6.-Y así es como se obtiene la representación binaria de cualquier cantidad.
Para saber que la conversión se ha hecho de manera correcta, se realiza la siguiente comprobación (es lo mismo que se hace para convertir cantidades del sistema binario a el sistema decimal):
1.-Así como están ordenados los residuos,se multiplican por una de las potencias de 2.
2.-Se comienza con la potencia de dos a la cero(2^0), posteriormente dos a la uno(2^1), dos al cuadrado(2^2), dos al cubo(2^3), dos a la cuarta(2^4) y así sucesivamente. [ Recuerda que todo número elevado a la cero potencia es igual a uno(2^0 = 1) y que; cualquier cantidad elevada a la uno potencia se mantiene igual(2^1 = 2), es decir, su valor no se modifica.]
3.-Todo dependerá de la cantidad de dígitos que tenga la cifra.
4.-Ya hechas las multiplicaciones correspondientes,se suman los resultados y el total de estos debe ser igual a la cantidad original que se pretendió convertir.
A continuación se presentarán algunos ejemplos de conversión de cantidades de Sistema Decimal a binario:
a) 257 *** R= residuo
Se obtiene: 100000001 éste es el resultado, ya para comprobar se realiza lo siguiente:
1 x (2^0) = 1 x 0 = 1
0 x (2^1) = 0 x 2 = 0 +
0 x (2^2) = 0 x 4 = 0 +
0 x (2^3) = 0 x 8 = 0 +
0 x (2^4) = 0 x 16 = 0 +
0 x (2^5) = 0 x 32 = 0 +
0 x (2^6) = 0 x 64 = 0 +
0 x (2^7) = 0 x 128 = 0 +
1 x (2^8) = 1 x 256 = 256
257
Así es como se realiza una conversión de sistema decimal a binario y viceversa (de binario a decimal, que es prácticamente la comprobación de lo primero).
Sistema Octal
El Sistema Octal se llama así por ser de base 8 y utiliza los dígitos 0 a 7.
Para convertir un número en base decimal a base octal (se realiza el mismo procedimiento que se utilizó en el sistema binario) se divide por 8 sucesivamente hasta llegar a cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número en octal. Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.
A continuación se hará una conversión de sistema decimal a octal y viceversa para comprobar:
a) 9551 *** R= residuo ***
9551÷8=1193,R=7 ; 1193÷8=149,R=1 ; 149÷8=18,R=5 ; 18÷8=2,R=2 ; 2÷8=0,R=2
<========= <========= <========== Ordenar inversamente
Se obtiene lo siguiente: 2 2 5 1 7 éste es el resultado;para convertir a decimal (o comprobar) se realiza la siguiente operación:
7 x (8^0) = 7 x 1 = 7 +
1 x (8^1) = 1 x 8 = 8 +
5 x (8^2) = 5 x 64 = 320 +
2 x (8^3) = 2 x 512 = 1,024 +
2 x (8^4) = 2 x 4,096 = 8,192
9,551
De esta forma es como se realizan las conversiones entre el sistema decimal y el octal.
Sistema Hexadecimal
En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.
1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 y F=15
1.-Se toma la cantidad que se desea convertir y se divide entre dos.
2.-Posteriormente se toma el cociente(resultado) de la división anterior y se divide de igual manera entre dos.
3.- Así sucesivamente se repite la operación, cuantas veses sea necesario, hasta llegar a la última división, que debe ser 1/2 (uno entre dos), igual a 0 (cero).
4.-Cabe mencionar que los residuos de las divisiones siempre serán 1 ó 0 (uno o cero).
5.-Al terminar de dividir, se ordenan los residuos de derecha a izquierda ( <------ ), es decir, del último al primero.
6.-Y así es como se obtiene la representación binaria de cualquier cantidad.
Para saber que la conversión se ha hecho de manera correcta, se realiza la siguiente comprobación (es lo mismo que se hace para convertir cantidades del sistema binario a el sistema decimal):
1.-Así como están ordenados los residuos,se multiplican por una de las potencias de 2.
2.-Se comienza con la potencia de dos a la cero(2^0), posteriormente dos a la uno(2^1), dos al cuadrado(2^2), dos al cubo(2^3), dos a la cuarta(2^4) y así sucesivamente. [ Recuerda que todo número elevado a la cero potencia es igual a uno(2^0 = 1) y que; cualquier cantidad elevada a la uno potencia se mantiene igual(2^1 = 2), es decir, su valor no se modifica.]
3.-Todo dependerá de la cantidad de dígitos que tenga la cifra.
4.-Ya hechas las multiplicaciones correspondientes,se suman los resultados y el total de estos debe ser igual a la cantidad original que se pretendió convertir.
A continuación se presentarán algunos ejemplos de conversión de cantidades de Sistema Decimal a binario:
a) 257 *** R= residuo
257÷2=128,R=1 ; 128÷2=64,R=0 ; 64÷2=32,R=0 ; 32÷2=16,R=0 ; 16÷2=8,R=0
; 8÷2=4,R=0 ;
<===== <====== <====== <=======
4÷2=2,R=0 ; 2÷2=1,R=0 ; 1÷2=0,R=1
<===== <====== Ordenar de derecha a izquierda los residuos.Se obtiene: 100000001 éste es el resultado, ya para comprobar se realiza lo siguiente:
1 x (2^0) = 1 x 0 = 1
0 x (2^1) = 0 x 2 = 0 +
0 x (2^2) = 0 x 4 = 0 +
0 x (2^3) = 0 x 8 = 0 +
0 x (2^4) = 0 x 16 = 0 +
0 x (2^5) = 0 x 32 = 0 +
0 x (2^6) = 0 x 64 = 0 +
0 x (2^7) = 0 x 128 = 0 +
1 x (2^8) = 1 x 256 = 256
257
Así es como se realiza una conversión de sistema decimal a binario y viceversa (de binario a decimal, que es prácticamente la comprobación de lo primero).
Sistema Octal
El Sistema Octal se llama así por ser de base 8 y utiliza los dígitos 0 a 7.
Para convertir un número en base decimal a base octal (se realiza el mismo procedimiento que se utilizó en el sistema binario) se divide por 8 sucesivamente hasta llegar a cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número en octal. Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.
A continuación se hará una conversión de sistema decimal a octal y viceversa para comprobar:
a) 9551 *** R= residuo ***
9551÷8=1193,R=7 ; 1193÷8=149,R=1 ; 149÷8=18,R=5 ; 18÷8=2,R=2 ; 2÷8=0,R=2
<========= <========= <========== Ordenar inversamente
Se obtiene lo siguiente: 2 2 5 1 7 éste es el resultado;para convertir a decimal (o comprobar) se realiza la siguiente operación:
7 x (8^0) = 7 x 1 = 7 +
1 x (8^1) = 1 x 8 = 8 +
5 x (8^2) = 5 x 64 = 320 +
2 x (8^3) = 2 x 512 = 1,024 +
2 x (8^4) = 2 x 4,096 = 8,192
9,551
De esta forma es como se realizan las conversiones entre el sistema decimal y el octal.
Sistema Hexadecimal
En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.
1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 y F=15
Para realizar conversiones entre este sistema y el decimal, se llevan a cabo los pasos anteriores de los sistemas binario y octal, dividir sucesivamente entre 16 hasta obtener el cociente cero, posteriormente ordenar de manera inversa, para así conseguir el resultado.
Ahora se realizará la siguiente conversión:
a) 54,913
54913÷16=3432,R=1 ; 3432÷16=214,R=8 ; 214÷16=13,R=6 ; 13÷16=0,R=13 13= D
<========== <============ <============ Ordenar de derecha a izquierda.
Se obtiene lo siguente: D 6 8 1 y éste es el resultado de convertir 54,913 a hexadecimal. Ahora vamoa a comprobar:
1 x (16^0) = 1 x 1 = 1 +
8 x (16^1) = 8 x 16 = 128 +
6 x (16^2) = 6 x 256 = 1,536 +
D x (16^3) = 13 x 4,096 = 53,248
54,913
De esta forma queda realizada la conversión y comprobación del sistema Hexadecimal.
Sistema Babilónico
Los primeros símbolos escritos de esta cultura, representaban los números con marcas en forma de cuña de acuerdo a su escritura cuneiforme. Los babilonios tenían un método de contar un poco complicado, su sistema numérico era en base sesenta (60), o sea, contaban de sesenta en sesenta, llamadas sesentenas babilónicas, Su aritmética se basaba en dos números ejes, el 10 y 60, teniendo en cuenta el posicionamiento de estos caracteres así mismo se leían e interpretaban.
El símbolo ▼ puede representar sesenta o uno, dependiendo de la posición en que se
encuentre, al inicio o al final del número a expresar, girado 90º a la derecha su valor cambia
a 10 (como se muestra en la imagen anterior). Sus numerales en algunos casos podían resultar un poco confusos para su interpretación, había que conocer bien su sistema de numeración.
A continuación haremos la conversión correspondiente a este sistema, el procedimiento sigue siendo el mismo, dividir entre sesenta hasta encontrar el cociente cero,posteriormente acomodar los residuos de manera inversa y por último hacer la representación gráfica.
a) 45,005 ***R = residuo***
45005÷60=750,R=5 ; 750÷60=12,R=30 ; 12÷60=0,R=12
<=========== <============= Ordenar inversamente
Se obtiene lo siguiente: 12 30 5
Quedando representando gráficamente de la siguiente manera:
5 x (60^0) = 5 x 1 = 5 +
30 x (60^1) = 30 x 60 = 1,800 +
12 x (60^2) = 12 x 3600 = 43,200
45,005
Ahora se realizará la siguiente conversión:
a) 54,913
54913÷16=3432,R=1 ; 3432÷16=214,R=8 ; 214÷16=13,R=6 ; 13÷16=0,R=13 13= D
<========== <============ <============ Ordenar de derecha a izquierda.
Se obtiene lo siguente: D 6 8 1 y éste es el resultado de convertir 54,913 a hexadecimal. Ahora vamoa a comprobar:
1 x (16^0) = 1 x 1 = 1 +
8 x (16^1) = 8 x 16 = 128 +
6 x (16^2) = 6 x 256 = 1,536 +
D x (16^3) = 13 x 4,096 = 53,248
54,913
De esta forma queda realizada la conversión y comprobación del sistema Hexadecimal.
Sistema Babilónico
Los primeros símbolos escritos de esta cultura, representaban los números con marcas en forma de cuña de acuerdo a su escritura cuneiforme. Los babilonios tenían un método de contar un poco complicado, su sistema numérico era en base sesenta (60), o sea, contaban de sesenta en sesenta, llamadas sesentenas babilónicas, Su aritmética se basaba en dos números ejes, el 10 y 60, teniendo en cuenta el posicionamiento de estos caracteres así mismo se leían e interpretaban.
El símbolo ▼ puede representar sesenta o uno, dependiendo de la posición en que se
encuentre, al inicio o al final del número a expresar, girado 90º a la derecha su valor cambia
a 10 (como se muestra en la imagen anterior). Sus numerales en algunos casos podían resultar un poco confusos para su interpretación, había que conocer bien su sistema de numeración.
A continuación haremos la conversión correspondiente a este sistema, el procedimiento sigue siendo el mismo, dividir entre sesenta hasta encontrar el cociente cero,posteriormente acomodar los residuos de manera inversa y por último hacer la representación gráfica.
a) 45,005 ***R = residuo***
45005÷60=750,R=5 ; 750÷60=12,R=30 ; 12÷60=0,R=12
<=========== <============= Ordenar inversamente
Se obtiene lo siguiente: 12 30 5
Quedando representando gráficamente de la siguiente manera:
12 30 5
Para comprobar que el procedimiento se realizo correctamente, se pasa a hacer la comprobación correspondiente:
30 x (60^1) = 30 x 60 = 1,800 +
12 x (60^2) = 12 x 3600 = 43,200
45,005
Y de esta manera queda realizada la conversión y la comprobación del sistema babilónico.
Sistema Maya
Este sistema tiene alguna semejanza con el romano aunque en algunos aspectos es superior. Ya que ellos conocieron el cero y su sistema de numeración es de base veinte o vigesimal pero al mismo tiempo posicional, utilizaban el cinco como base auxiliar.
Los números del uno al diecinueve se representaban por medio de puntos y barras consecutivas verticales, el numero uno era representado por un punto, los puntos se repetían hasta cuatro veces para obtener el cuatro, el cinco era una raya horizontal que le se iba añadiendo puntos hasta llegar al nueve. Las barras se podían repetir hasta tres veces en combinación de los puntos, hasta llegar al diecinueve (como se muestra en la figura de abajo). Este sistema numérico se interpretaba de abajo hacia arriba.
El cero se representaba por un ojo o una concha semicerrada con un punto adentro, para los números superiores al diecinueve aplicaban su sistema posicional de las cifras, con progresiones de veinte en veinte de abajo hacia arriba, (20^0 – 20^1 – 20^2 – 20^3…), con las cuales se podían realizar operaciones de diverso orden. Se cita a continuación un ejemplos de aplicación del sistema de numeración maya:
a) 8,000
8000÷20=400,R=0 ; 400÷20=20,R=0 ; 20÷20=1,R=0 ; 1÷20=0,R=1
<======= <========= <====== Ordenar inversamente
Se obtiene lo siguiente: 1 0 0 0
Representando gráficamente queda de la siguiente manera:
Para comprobar que el procedimiento fue correcto, se hace la comprobación:
0 x (20^2) = 0 x 400 = 0 +
0 x (20^1) = 0 x 20 = 0 +
0 x (20^0) = 0 x 1 = 0
8,000
De esta manera es como se realizan las conversiones de cantidades del Sistema decimal a los diferentes Sistemas de Numeración; el procedimiento prácticamente es el mismo, dividir consecutivamente hasta encontrar el cociente cero, posteriormente ordenar de manera inversa y así se obtiene el resultado.
Para convertir una cantidad dada en uno de los Sistemas antes mencionados, cada número se multiplica por una potencia, dependiendo del sistema y de la posición del mismo numero el la cifra; una vez hecha las multiplicaciones correspondientes, se suman las nuevas cifras obtenidas y se así se da el resultado. Este procedimiento sirve también para conprobar que la conversión hecha esté de manera correcta.
